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第一册已知三角函数值求角

时间: 2008-08-02 栏目: 高一数学教案

【教学课题】: 已知三角函数值求角

【教学目标】: 了解反三角函数的定义,掌握用反三角函数值表示给定区间上的角

【教学重点】: 掌握用反三角函数值表示给定区间上的角

【教学难点】: 反三角函数的定义

【教学过程】:

一.  问题的提出:

在我们的学习中常遇到知三角函数值求角的情况,如果是特殊值,我们可以立即求出所有的角,如果不是特殊值( ),我们如何表示 呢?相当于 中如何用 来表示 ,这是一个反解 的过程,由此想到求反函数。但三角函数由于有周期性,它们不存在反函数,这就要求我们把它们的定义域缩小,并且这个区间满足:

(1)包含锐角;(2)具有单调性;(3)能取得三角函数值域上的所有值。

显然对 ,这样的区间是 ;对 ,这样的区间是 ;对 ,这样的区间是

二.新课的引入:

1.反正弦定义:

反正弦函数:函数 的反函数叫做反正弦函数,记作: .

对于 注意:

(1) (相当于原来函数的值域);

(2) (相当于原来函数的定义域);

(3)

即: 相当于 内的一个角,这个角的正弦值为

反正弦:符合条件 )的角 ,叫做实数 的反正弦,记作: 。其中

例如:

由此可见:书上的反正弦与反正弦函数是一致的,当然理解了反正弦函数,能使大家更加系统地掌握这部分知识。

2.反余弦定义:

反余弦函数:函数 的反函数叫做反余弦函数,记作: .

对于 注意:

(1) (相当于原来函数的值域);

(2) (相当于原来函数的定义域);

(3)

即: 相当于 内的一个角,这个角的余弦值为

反余弦:符合条件 )的角 ,叫做实数 的反正弦,记作: 。其中

例如: ,由于 ,故 为负值时, 表示的是钝角

3.反正切定义:

反正切函数:函数 的反函数叫做反正弦函数,记作: .

对于 注意:

(1) (相当于原来函数的值域);

(2) (相当于原来函数的定义域);

(3)

即: 相当于 内的一个角,这个角的正切值为

反正切:符合条件 )的角 ,叫做实数 的反正切,记作: 。其中

例如:

对于反三角函数,大家切记:它们不是三角函数的反函数,需要对定义域加以改进后才能出现反函数。反三角函数的性质,有兴趣的同学可根据互为反函数的函数的图象关于 对称这一特性,得到反三角函数的性质。根据新教材的要求,这里就不再讲了。

练习:

三.课堂练习:

例1.请说明下列各式的含义:

(1) ;  (2)  ; (3) ; (4)

解:(1) 表示 之间的一个角,这个角的正弦值为 ,这个角是

(2) 表示 之间的一个角,这个角的正弦值为 ,这个角不存在,即 的写法没有意义,与 矛盾;

(3) 表示 之间的一个角,这个角的余弦值为 ,这个角是

(4) 表示 之间的一个角,这个角的正切值为 。这个角是一个锐角。

 

例2.比较大小:(1) ;(2)

解:(1)设:

上是增函数,

,即

(2) 小于零, 表示负锐角,

虽然小于零,但 表示钝角。

即:

   

例3.已知: ,求: 的值。

    解: 正弦值为 的角只有一个,即:

    在 中正弦值为 的角还有一个,为钝角,即:

    所求 的集合为:

    注意:如果题目没有特别说明,结果应为准确值,而不应是近似值,书上均为近似值。

   

例4.已知: ,求: 的值。

    解: 余弦值为 的角只有一个,即:

    在 中余弦值为 的角还有一个,为第三象限角,即:

    所求 的集合为:

 

例5.求证: )。

证明:∵ ,∴ ,设

,即: ,即:

,∴

,∴ ,即:

 

例6.求证: )。

证明:∵ ,∴ ,设

,即: ,即: (*),

,∴

,∴ ,即:

注意:(*)中不能用 来替换 ,虽然符号相同,但 ,不能用反余弦表示

四.课后作业。

    书上:P76.练习,P77.  习题4.11。(均要准确值,划掉书上的精确到)