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下学期 5.6平面向量的数量积及运算律2

时间: 2008-08-02 栏目: 高一数学教案

(第二课时)

一、教学目标

  1.掌握平面向量的数量积的运算律,并能运用运算律解决有关问题;

  2.掌握向量垂直的充要条件,根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直;由两个向量垂直确定参数的值;

  3.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;

  4.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;

  5.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质及运算律的应用,培养学生的应用意识.

二、教学重点  平面向量的数量积运算律,向量垂直的条件;

  教学难点  平面向量的数量积的运算律,以及平面向量的数量积的应用.

三、教学具准备

  投影仪

四、教学过程

  1.设置情境

  上节课,我们已经给出了数量积的定义,指出了它的(5)条属性,本节课将研究数量积作为一种运算,它还满足哪些运算律?

  2.探索研究

  (1)师:什么叫做两个向量的数量积?

  生: ( 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积)

  师:向量的数量积有哪些性质?

  生:(1)

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

    (6)

  师:向量的数量积满足哪些运算律?

  生(由学生验证得出)

  交换律:

     

  分配律:

  师:这个式子 成立吗?(由学生自己验证)

  生: ,因为 表示一个与 共线的向量,而 表示一个与 共线的向量,而 与 一般并不共线,所以,向量的内积不存在结合律。

  (2)例题分析

  【例1】求证:

  (1)

  (2)

  分析:本例与多项式乘法形式完全一样。

  证:         

  注: (其中 、 为向量)

  答:一般不成立。

  【例2】已知 , , 与 的夹角为 ,求 .

  解:∵

    

    

  注:与多项式求值一样,先化简,再代入求值.

  【例3】已知 , 且 与 不共线,当且仅当 为何值时,向量 与 互相垂直.

  分析:师:两个向量垂直的充要条件是什么?

  生:

  解: 与 互相垂直的充要条件是

  

  即

  ∵   

  ∴

  ∴ 

  ∴  当且仅当 时, 与 互相垂直.

  3.演练反馈(投影)

  (1)已知 , 为非零向量, 与 互相垂直, 与 互相垂直,求 与 的夹角.

  (2) , 为非零向量,当 的模取最小值时,

  ①求 的值;

  ②求证: 与 垂直.

  (3)证明:直径所对的圆周角为直角.

参考答案:

  (1)

  (2)解答:①由

  当 时 最小;

  ②∵

   

  ∴ 与 垂直.

  (3)如图所示,设 , , (其中 为圆心, 为直径, 为圆周上任一点)

  则

  ∵  ,

  

  ∴   即  圆周角

  4.总结提炼

  (l)

  (2)向量运算不能照搬实数运算律,如结合律数量积运算就不成立.

  (3)要学会把几何元素向量化,这是用向量法证几何问题的先决条件.

  (4)对向量式不能随便约分,因为没有这条运算律.

五、板书设计

课题:

1.数量积性质

2.数量积运算律

例题

1

2

3

演练反馈

总结提炼