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下学期 5.5 线段的定比分点

时间: 2008-08-02 栏目: 高一数学教案

一.教学目标

  1.理解点P分有向线段所成的比λ的含义,能确定λ的正负号;

  2.掌握有向线段的定比分点和中点的坐标公式,并能熟练运用这两个公式解决实际问题;

  3.向学生渗透数形结合的思想,培养学生的思维能力,发现事物间的变化规律.

二.教学重点  线段的定比分点和终点的坐标公式的应用.

  教学难点   用线段的定比分点坐标公式解题时区分λ>0还时λ<0.

三.教学具准备

  投影仪,直尺.

四.教学过程

  1.设置情境

  已知线段 的两个端点 、 , 为线段 所在直线上任一点,由共线向量知识,必有 .我们能否解决这样的问题,(1)已知 及 、 ,求P点坐标 ;(2)已知 、 及 ,求 值.

  本节课就来讨论上述两个问题,(板书课题――线段的定比分点)

  2.探索研究

  (1)师:请同学们回忆叙述向量的加、减、实数与向量的积的坐标运算法则.

  生:两个向量的和(差)的坐标,等于这两个向量的相应的坐标的和(差);实数与向量的积的坐标,等于这个实数与这个向量的相应坐标的积.

  师:已知直线l上两点 、 ,在直线l上取不同于 、 的任一点P,则P点的位置有哪几种情形?

  生:有三种情形,P在 之间;P在 的延长线上,P在 的延长线上.

  师:请得很好,下面我们就P在直线 上的三种情况给出定义:

  设 、 是直线l上的两点,点Pl上不同于 、 的任意一点,若存在一个实数 使 ,则 叫做点P分有向线段 所成的比.

  你能根据P点的三种不同的位置和实数与向量的积的向量方向确定 的取值范围吗?(启发学生从向量的方向上考虑)

  生:当P在 之间时, 与 方向相同,所以 ;当点P在 的延长线上时, ;若点P在 的延长线上时,同理可得 .

  下面我们利用平面向量的坐标运算推导定比分点坐标公式

  师:设 , ,P分 所成的比为 ,如何求P点的坐标呢?

  (按以下思路引导学生进行思考)

  师:设 ,你能用坐标表示等式 吗?

  生:

     

  师:由两个向量相等的条件,可以得出什么结论呢?

  生:

  师:对!这就是线段 的定比分点P的坐标公式,特别地,当 时,得中点P的坐标公式:

  (2)例题分析

  【例1】  已知两点 , ,求点 分 所成的比 及y的值.

  解:由线段的定比分点坐标公式得

  

  【例2】  如图所示, 的三个顶点的坐标分别为 , , ,D是边AB的中点,GCD上的一点,且 ,求点G的坐标.

 解:∵DAB的中点

  ∴点D的坐标为

  ∵

  ∴

  由定比分点坐标公式可得G点坐标为:

  

  即点G的坐标为 ,也就是 的重心的坐标公式.

  3.演练反馈(投影)

  (1)如图所示,点B分有向线段 的比为 ,点C分有向线段 的比为 ,点A分有向线段 的比为 .

  (2)连结A(4,1)和B(-2,4)两点的直线,和x轴交点的坐标是       ,和y轴交点的坐标是            

  (3)如图所示, 中,AB的中点是D(-2,1),AC的中点是E(2,3),重心是G(0,1),求A、B、C的坐标.

参考答案:(1) ;(2)(6,0)、(0,3);(3)用三角形基法作图得:A(0,5),B(-4,-3),C(4,1)

  4.总结提炼

  (1)定比分点的几种表达方式:

   ……向量式

   ……坐标式

   ……公式形式

  (2)中点公式,重心公式要熟记.

  (3)定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法.

五.板书设计

 

1.定比分点的定义

(1)内分点     3.例1

(2)外分点

  a.

  b.

2.分点坐标公式    4.演练反馈

  a.       5.总结提炼

  b.