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下学期 5.2向量的加法与减法1

时间: 2008-08-02 栏目: 高一数学教案

(第一课时)

一.教学目标

  (1)掌握向量的加法的定义,会用向量加法的三角形法则和会用向量加法的平行四边形法则作两个向量的和向量;

  (2)掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行计算;

  (3)启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题;

  (4)培养学生化归的数学思想.

二.教学重点:向量的加法的定义,向量加法的三角形法则和平行四边形法则,作两个向量的和向量;

  教学难点:对向量加法定义的理解.

三.教具:多媒体、实物投影仪

四.教学过程

  1.设置情境

  请同学看这样一个问题:(投影)

  (1)由于大陆和台湾没有直航,因此2003年春节探亲,要先从台北到香港,再从香港到上海,这两次位移之和时什么?

  (2)如图(2),飞机从 到 ,再改变方向从 到 ,则两次位移的和是 ,应该是_____________.

  (3)如图(3),船的速度是 ,水流速度是 则两个速度的和是 应该是___________.

  生:(1)这人两次的位移的和是从台北到上海;(2)飞机两次位移的和是 ;(3)两个速度的和是 .

  师:很好!两人向量的和仍是一个向量.本节课就来研究两个向量的和(板书课题:向量的加法).

  2.探索研究

  (1)向量的加法的定义:

  已知向量 ,在平面内任取一点A,作 ,则向量 叫做向量 的和。记作: 即

  零向量与任意向量 ,有

  (2)两个向量的和向量的作法:

  ①三角形法则:两个向量“首尾”相接

  注意:1°三角形法则对于两个向量共线时也适用;

     2°两个向量的和向量仍是一个向量

  例1.已知向量 ,求作 向量

  作法:在平面内任取一点O,作 ,则

  ②平行四边形法则:

  由同一点A为起点的两个已知向量 为邻边作平行四边形BCD,则以A为起点的向量 就是向量 的和。这种作两个向量和的方法叫做平行四边形法则

  注意:平行四边形法则对于两个向量共线时不适用

  3.向量和与数量和的区别:

  ①当向量 不共线时, 的方向与 不同向,且

  ②当向量 同向时, 的方向与 同向,且

   当向量 反向时,若 ,则 的方向与 同向,且 ;若 ,则 的方向与 反向,且 ;4.向量的运算律:

  ①交换律:

  证明:当向量 不共线时,如上图,作平行四边形ABCD,使 ,

  则 ,

  因为 ,

  所以

  当向量 共线时,若 与 同向,由向量加法的定义知:

   与 同向,且

   与 同向,且 ,所以

  若 与 反向,不妨设 ,同样由向量加法的定义知:

   与 同向,且

   与 同向,且 ,所以

  综上,

  ②结合律:

  学生自己验证。

  由于向量的加法满足交换律和结合律,对于多个向量的加法运算就可以按照任意的次序与任意的组合来进行了

  例如:

     

  例2.如图,一艘船从A点出发以 的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时喝水的流速为 ,求船实际航行的速度的大小与方向。

  解:设 表示船垂直于对岸的速度, 表示水流的速度,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则 就是船实际航行的速度

  在 中, ,

  所以

  因为

  答:船实际航行的速度的大小为 ,方向与水流速间的夹角为

4.演练反馈(投影)

  (1)在平行四边形 中, , 则用 、 表示向量 的是(     )

  A. +          B.           C.0          D. +

  (2)若 为△ 内一点, ,则 是△ 的(     )

  A.内心           B.外心        C.垂心          D.重心

  (3)下列各等式或不等式中一定不能成立的个数(     )

  ①   ②

  ③   ④

  A.0          B.1          C.2            D.3

5.总结提炼

  (1) 是一个向量,在三角形法则下:平移 向量,使 的起点与 的终点重合,则 就是以 的起点为起点, 的终点为终点的新向量.

  (2)一组首尾相接的向量和: ,如图.

  (3)对任意两个向量 、 ,任有 成立.

五.板书设计

 

1.引例揭示课题

2.例1

   例2

演练反馈

总结提炼