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下学期 5.1 向量

时间: 2008-08-02 栏目: 高一数学教案

一.教学目标

  1.理解向量、零向量、单位向量、相等向量的意义,并能用数学符号表示向量;

  2.理解向量的几何表示,会用字母表示向量;

  3.了解平行向量、共线向量、和相等向量的意义,并会判断向量的平行、相等、共线;

  4.通过对向量的学习,使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识,培养学生进行唯物辩证思想.

二.教学具准备

  直尺、投影仪.

三.教学过程

  1.设置情境

  师:(边画图边讲解)美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令:向1200公里处发射两枚战斧式巡航导弹(精度10米左右,射程超过2000公里),试问导弹是否能击中伊拉克的军事目标?   

  生:不能,因为没有给定发射的方向.

  师:现实生活中还有哪些量既有大小又有方向?哪些量只有大小没有方向?

  生:力、速度、加速度等有大小也有方向,温度和长度只有大小没有方向.

  师:对!力、速度、加速度等也是既有大小也有方向的量,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.数学中用点表示位置,用射线表示方向.常用一条有向线段表示向量.在数学中,通常用点表示位置,用射线表示方向.

  (1)意义:既有大小又有方向的量叫向量。例:力、速度、加速度、冲量等

  (2)向量的表示方法:

  ①几何表示法:点和射线

  有向线段――具有一定方向的线段

  有向线段的三要素:起点、方向、长度

  符号表示:以A为起点、B为终点的有向线段记作 (注意起讫).

  ②字母表示法: 可表示为 (印刷时用黑体字)

  例   用1cm表示5n mail(海里)

  (3)模的概念:向量 的大小――长度称为向量的模。

  记作:| |,模是可以比较大小的

  注意:①数量与向量的区别:

  数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;

  向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。

  ②从19世纪末到20世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空间性质。

  2.探索研究(学生自学概念)

  (1)介绍向量的一些概念

  师:长度为零的向量叫什么向量?如何表示?长度为1的向量叫做什么向量?是不是只有一个?(学生看书回答)

  生:长度为零的向量叫做零向量,表示为:0;长度等于1的向量叫做单位向量,有许多个,每个方向都有一个.

  师:满足什么条件的两个向量是相等向量?符号如何表示?单位向量是相等向量吗?

  生:如果两个向量大小相等且方向相同,那么这两个向量叫做相等向量,a=b单位向量不一定是相等向量,单位向量的方向不一定相同.

  师:有一组向量,它们的方向相同或相反,那么这组向量有什么关系?

  生:平行.

  师:对!我们把方向相同或相反的两个向量叫做平行向量,符号如何表示?如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点 ,这时它们是不是平行向量?这时各向量的终点之间有什么关系?

  生:是平行向量,a//b,各向量的终点都在同一条直线上.

  师:对!由此,我们把平行向量又叫做共线向量.

  (2)例题分析

  【例1】判断下列命题真假或给出问题的答案

  (1)平行向量的方向一定相同?

  (2)不相等的向量一定不平行.

  (3)与零向量相等的向量是什么向量?

  (4)与任何向量都平行的向量是什么向量?

  (5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量?

  (6)两个非零向量相等的充要条件是什么?

  (7)共线向量一定在同一直线上吗?

  解:(1)根据定义:平行向量可以方向相反,故命题(1)为假;

    (2)平行向量没有长、短要求,故命题(2)为假;

    (3)只有零向量;

    (4)零向量;

    (5)平行向量;

    (6)模相等且方向相同;

    (7)不一定,只要它能被平移成共线就行.

  说明:零向量是向量,只不过它的起、终点重合.依定义、其长度为零.

  【例2】如图,设 是正六边形 的中心,分别写出图中与向量 、 ,相等的向量.

  解:

    

    

  练习:(投影)在上题中

  变式一,与向量 长度相等的向量有多少个?(11个)

  变式二,是否存在与向量 长度相等,方向相反的向量?(存在)

  变式三,与向量 共线的向量有哪些?(有 、 和 )

  3.演练反馈(投影)

  (1)下列各量中是向量的是(      )

  A.动能  B.重量  C.质量  D.长度

  (2)等腰梯形 中,对角线 与 相交于点 ,点 、 分别在两腰 、 上, 过 且 ,则下列等式正确的是(      )

  A.  B.   C.  D.

  (3)物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量

参考答案:(1)B;  (2)D;    (3)相等,相反

4.总结提炼

  (1)描述一个向量有两个指标:模、方向.

  (2)平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植,这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量,它与长度无关,它与是否真的不在一条直线上无关.

  (3)向量的图示,要标上箭头及起、终点,以体现它的直观性.

四.板书设计

向    量

1.向量的定义

2.表示法                        6.例题

3.零向量和单位向量              7.演练反馈

4.平行向量(共线向量)          8.总结提炼

5.相等向量