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下学期 4.11 已知三角函数值求角2

时间: 2008-08-02 栏目: 高一数学教案

(第二课时)

一.教学目标

  1.掌握已知一角的正切值,求角的方法.

  2.掌握给定区间内,用反三角函数表示一个角的方法.

二.教学具准备

  投影仪

三.教学过程

  1.设置情境

  师:请同学们看投影,回答问题

  (1)若 , ,则 .

  (2)若 , 则 .

  生:(1) 或 .

  (2) 或 .

  师:回答正确.请同学结合上面两个小题的求解过程,总结一下已知三角函数值求角的一般步骤:

  生:从上面两个小题的求解过程看,有三个步骤:

  第一步,决定角 可能是第几象限角.

  第二步,如果函数值为正数,则先求出对应的锐角 ;如果函数值为负数,则先求了与其绝对值对应的锐角 ;

  第三步,如果函数值为负数,则根据角 可能是第几象限角,得出 内对应的角―如果它是第二象限角,那么可表示为 ,如果它是第三或第四象限角,那么可表示为 或 .

  师:总结得很好,本节课我们继续学习用反正切表示角的方法,先请同学看问题(投影仪):

  2.探索研究(此部分可由学生仿照正弦、余弦分析解决)

  【例1】(1)已知 ,且 ,求 (精确到 ).

  (2)已知 ,且 ,求 的取值集合.

  解:(1)由正切函数在开区间 上是增函数和 可知,符合条件的角有且只有一个,利用计算器可得 (或 ).

  (2)由正切函数的周期性,可知 时, ,所以所求的 的集合是 .

  下面讨论反正切概念,请看 图形(图1)(投影仪):

  观察正切函数的图像的性质,为了使符合条件 ( 为任意实数)的角 有且只有一个,我们选择开区间 作基本的范围,在这个开区间内,符合条件 ( 为任意实数)的角 ,叫做实数 反正切,记作 ,即 ,其中 ,且 ,那么,此例第(2)小题的答案可以写成 .

   表示的意义: 表示一个角,角的特点是①角的正切值为x,因此角的大小受x的限制;②并不是所有满足 的角都可以,只能是 范围内满足 的角;③由于x为角的正切值,所以x的值可为全体实数.

  【例2】(1)已知 ,且 ,求 .

  (2)已知 ,且 ,求 的取值集合.

  解:(1)因为 ,所以 .由正切函数在开区间 上是增函数可知符合条件的角有且只有一个,所以 .

  (2)由正切函数的周期性,可知当 时, .

  ∴所求 的取值集合是 .

参考例题(供层次高的学生使用):

  1.求值 .

  解:根据诱导公式 ,且 ,

  ∴ .

  评法:由于反正弦 表示 内的一个角,而 ,所以应先用诱导公式将其转化为区间 内的角,再进行计算.

  2.求 的值.

  解:∵ 、 表示 中的角

  ∴令 ,则 ,

     ,则

  ∴

  又∵ 和 均为锐角

  ∴

  ∴

  3.演练反馈(投影)

  (1)满足 的 的集合是(     )

  A.  B.

  C.  D.

  (2)已知 是第二象限角,是 ,则 .

  (3)已知 , ,且 为第三象限角, 为第四象限角,求 、 .

参考答案:

(1)D  (2) , .

(3)

  ∵ 为第三象限角, 为第四象限角.

  ∴ , ,

4.总结提炼

  (1)由反正切定义知: ,     ,

  (2)已知: , ,用 表示

范围

位置及大小

四.板书设计

课题

例1

例2

反正切

概念

演练反馈

总结提炼