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下学期 4.10 正切函数的图象和性质1

时间: 2008-08-02 栏目: 高一数学教案

4.10 正切函数的图象和性质

第一课时

(一)教学具准备

  直尺、投影仪.

(二)教学目标

  1.会用“正切线”和“单移法”作函数 的简图.

  2.掌握正切函数的性质及其应用.

(三)教学过程

1.设置情境

  正切函数是区别于正弦函数的又一三角函数,它与正弦函数的最大区别是定义域的不连续性,为了更好研究其性质,我们首先讨论 的作图.

2.探索研究

  师:请同学们回忆一下,我们是怎样利用单位圆中的正弦线作出 图像的.

  生:在单位圆上取终边为 (弧度)的角,作出其正弦线 ,设 ,在直角坐标系下作点 ,则点 即为 图像上一点.

  师:这位同学讲得非常好,本节课我们也将利用单位圆中的正切线来绘制 图像.

  (1)用正切线作正切函数图像

  师:首先我们分析一下正切函数 是否为周期函数?

  生:∵

    ∴ 是周期函数, 是它的一个周期.

  师:对,我们还可以证明, 是它的最小正周期.类似正弦曲线的作法,我们先作正切函数在一个周期上的图像,下面我们利用正切线画出函数 , 的图像.

  作法如下:①作直角坐标系,并在直角坐标系 轴左侧作单位圆.

       ②把单位圆右半圆分成8等份,分别在单位圆中作出正切线.

       ③找横坐标(把 轴上 到 这一段分成8等份).

       ④找纵坐标,正切线平移.

       ⑤连线.

 

图1

  根据正切函数的周期性,我们可以把上述图像向左、右扩展,得到正切函数 , 且 ( )的图像,并把它叫做正切曲线(如图1).

图2

  (2)正切函数的性质

  请同学们结合正切函数图像研究正切函数的性质:定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性.

  ①定义域:

  ②值域

  由正切曲线可以看出,当 小于 ( )且无限亲近于 时, 无限增大,即可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作 (读作 趋向于正无穷大);当 大于 且无限接近于 , 无限减小,即取负值且它的绝对值可以比任意给定的正数大,我们把这种情况记作 (读作 趋向于负无穷大).这就是说, 可以取任何实数值,但没有最大值、最小值.

  因此,正切函数的值域是实数集 .

  ③周期性

  正切函数是周期函数,周期是 .

  ④奇偶性

  ∵ ,∴正切函数是奇函数,正切曲线关于原点 对称.

  ⑤单调性

  由正切曲线图像可知:正切函数在开区间( , ), 内都是增函数.

  (3)例题分析

  【例1】求函数 的定义域.

  解:令 ,那么函数 的定义域是

  由    ,可得  

  所以函数 的定义域是

  【例2】不通过求值,比较下列各组中两个正切函数值的大小:

  (1) 与 ;

  (2) 与 .

  解:(1)∵

  又  ∵ ,在 上是增函数

  ∴

  (2)∵

     

  又   ∵ ,函数 , 是增函数,

  ∴   即 .

  说明:比较两个正切型实数的大小,关键是把相应的角诱导到 的同一单调区间内,利用 的单调递增性来解决.

  3.演练反馈(投影)

  (1)直线 ( 为常数)与正切曲线 ( 为常数且 )相交的相邻两点间的距离是(      )

  A.  B.  C.  D.与 值有关

  (2) 是 的(       )

  A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

  C.充要条件     D.既不充分也不必要条件

  (3)根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合

  ①  ②

参考答案:

  (1)C.注: 与 相邻两点之间距离即为周期长

  (2)D.注:由 ,但 ,反之 ,但

  (3)①

     ②

  4.总结提炼

  (1) 的作图是利用平移正切线得到的,当我们获得 上图像后,再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。

  (2) 性质.

定义域

值域

周期

奇偶性

单调增区间

对称中心

渐近线方程

奇函数

(四)板书设计

课题……

1.用正切线作正切函数图像

2.正切函数的性质

例1

例2

演练反馈

总结提炼