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正方形 ―― 初中数学第四册教案

时间: 2008-08-02 栏目: 八年级数学教案


课题: §4.6  正方形(一)

教学目的: 使学生掌握正方形的定义、性质和判定,会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算,理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别,进一步加深对“特殊与一般的认识”

教学重点: 正方形的定义.

教学难点: 正方形与矩形、菱形间的关系.

教学方法:双边合作  如:在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程,从而掌握判定一个四边形是正方形的方法.为了活跃学生的思维,可以得出下列问题让学生思考:

(1)对角线相等的菱形是正方形吗?为什么?

(2)对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么?

(3)对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果不是,应该加上什么条件?

(4)能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么?

(5)说“四个角相等的四边形是正方形”,对吗?

教学过程:

让学生将事先准备好的矩形纸片,按要求对折一下,裁出正方形纸片.

问:所得的图形是矩形吗?它与一般的矩形有什么不同?

    所得的图形是菱形吗?它与一般的菱形有什么不同?

    所得的图形在小学里学习时称它为什么图形?它有什么特点?

由此得出正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

(一)新课

由正方形的定义可以得知:正方形是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形,因此正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.

请同学们推断出正方形具有哪些性质?

性质1、(1)正方形的四个角都是直角。

(2)正方形的四条边相等。

性质2、(1)正方形的两条对角线相等。

(2)正方形的两条对角线互相垂直平分。

(3)正方形的每条对角线平分一组对角。

例1  求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.

求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的

等腰直角三角形.

证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO

(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).

    ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.

问:如何判定一个四边形是正方形呢?

正方形的判定方法:

1.先判定四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形;

2.先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是矩形.

例2             已知:如图,点A′、B′、C′、D′分

别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA′=BB′=CC′=DD′.

求证:四边形A′B′C′D′是正方形.

分析:根据正方形的四条边相等,四个角都是直角及已知条件,可以得到四个全等的直角三角形,它们的斜边都相等,从而判定四边形A′B′C′D′是菱形,再利用直角三角形两锐角互余证明菱形是矩形.

证明:(略)

(二)练习

1.已知正方形的边长为2cm,求这个正方形的周长、对角线长和正方形的面积.

2.正方形的对角线和它的边所成的角是多少度?为什么?

3.如果一个菱形的两条对角线相等,那么它一定是正方形,为什么?

4.如果一个矩形的两条对角线互相垂直,那么它一定是正方形,为什么?

三  小结

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形而且正方形还是特殊的矩形、特殊的菱形,它们的包含关系如图:

 

 

 

 

 

四  作业

1.已知正方形的一条对角线长4cm,求它的边长和面积.

2.两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

3.求证:正方形对边中点的连线将正方形分成四个小正方形.

4.求证:矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形.

课题: §4.6  正方形(一)

教学目的: 使学生掌握正方形的定义、性质和判定,会用正方形的概念和性质进行有关的论证和计算,理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的内在联系和区别,进一步加深对“特殊与一般的认识”

教学重点: 正方形的定义.

教学难点: 正方形与矩形、菱形间的关系.

教学方法:双边合作  如:在教学时可播放转换动画使学生获得生动、形象的可视思维过程,从而掌握判定一个四边形是正方形的方法.为了活跃学生的思维,可以得出下列问题让学生思考:

(1)对角线相等的菱形是正方形吗?为什么?

(2)对角线互相垂直的矩形是正方形吗?为什么?

(3)对角线垂直且相等的四边形是正方形吗?为什么?如果不是,应该加上什么条件?

(4)能说“四条边都相等的四边形是正方形”吗?为什么?

(5)说“四个角相等的四边形是正方形”,对吗?

教学过程:

让学生将事先准备好的矩形纸片,按要求对折一下,裁出正方形纸片.

问:所得的图形是矩形吗?它与一般的矩形有什么不同?

    所得的图形是菱形吗?它与一般的菱形有什么不同?

    所得的图形在小学里学习时称它为什么图形?它有什么特点?

由此得出正方形的定义:有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.

(一)新课

由正方形的定义可以得知:正方形是有一组邻边相等的矩形,又是有一个角是直角的菱形,因此正方形具有矩形的性质,同时又具有菱形的性质.

请同学们推断出正方形具有哪些性质?

性质1、(1)正方形的四个角都是直角。

(2)正方形的四条边相等。

性质2、(1)正方形的两条对角线相等。

(2)正方形的两条对角线互相垂直平分。

(3)正方形的每条对角线平分一组对角。

例1  求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.

已知:四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.

求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的

等腰直角三角形.

证明:∵四边形ABCD是正方形,

∴AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO

(正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分).

    ∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.

问:如何判定一个四边形是正方形呢?

正方形的判定方法:

1.先判定四边形是矩形,再判定这个矩形是菱形;

2.先判定四边形是菱形,再判定这个菱形是矩形.

例2             已知:如图,点A′、B′、C′、D′分

别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA′=BB′=CC′=DD′.

求证:四边形A′B′C′D′是正方形.

分析:根据正方形的四条边相等,四个角都是直角及已知条件,可以得到四个全等的直角三角形,它们的斜边都相等,从而判定四边形A′B′C′D′是菱形,再利用直角三角形两锐角互余证明菱形是矩形.

证明:(略)

(二)练习

1.已知正方形的边长为2cm,求这个正方形的周长、对角线长和正方形的面积.

2.正方形的对角线和它的边所成的角是多少度?为什么?

3.如果一个菱形的两条对角线相等,那么它一定是正方形,为什么?

4.如果一个矩形的两条对角线互相垂直,那么它一定是正方形,为什么?

三  小结

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形而且正方形还是特殊的矩形、特殊的菱形,它们的包含关系如图:

 

 

 

 

 

四  作业

1.已知正方形的一条对角线长4cm,求它的边长和面积.

2.两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形.

3.求证:正方形对边中点的连线将正方形分成四个小正方形.

4.求证:矩形的各内角平分线组成的四边形是正方形.